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1. 部分積分の公式

まず、微分の公式：$$\frac{d}{dx}(uv) = u’v + uv’$$

両辺を積分すると：$$\int \frac{d}{dx}(uv)\,dx = \int u’v\,dx + \int uv’\,dx$$

左辺は：$$uv$$

よって：$$uv = \int u’v\,dx + \int uv’\,dx$$

これを整理すると👇

$\int u \, dv = uv – \int v \, du$∫udv=uv−∫vdu

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2. 例題（超重要：途中式フル解説）

問題

$$\int_0^\infty t \lambda e^{-\lambda t} dt$$

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Step1：定数を外に出す

$$= \lambda \int_0^\infty t e^{-\lambda t} dt$$

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Step2：部分積分の準備

$$u = t,\quad dv = e^{-\lambda t} dt$$

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Step3：それぞれ計算

$$du = dt$$$$v = \int e^{-\lambda t} dt$$

ここを丁寧に：$$\int e^{-\lambda t} dt$$∫e−λtdt

置換 $x = -\lambda t$x=−λt とすると：$$= -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda t}$$=−λ1​e−λt

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Step4：公式に代入

$$\int t e^{-\lambda t} dt = t \left(-\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda t}\right) – \int \left(-\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda t}\right) dt$$

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Step5：整理

$$= -\frac{t}{\lambda} e^{-\lambda t} + \frac{1}{\lambda} \int e^{-\lambda t} dt$$

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Step6：残りの積分

$$\int e^{-\lambda t} dt = -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda t}$$∫e−λtdt=−λ1​e−λt

代入：$$= -\frac{t}{\lambda} e^{-\lambda t} – \frac{1}{\lambda^2} e^{-\lambda t}$$=−λt​e−λt−λ21​e−λt

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Step7：定積分に戻す

元の式：$$\lambda \int_0^\infty t e^{-\lambda t} dt$$λ∫0∞​te−λtdt

なので：$$= \lambda \left[ -\frac{t}{\lambda} e^{-\lambda t} – \frac{1}{\lambda^2} e^{-\lambda t} \right]_0^\infty$$=λ[−λt​e−λt−λ21​e−λt]0∞​

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Step8：λを分配

$$= \left[ – t e^{-\lambda t} – \frac{1}{\lambda} e^{-\lambda t} \right]_0^\infty$$=[−te−λt−λ1​e−λt]0∞​

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Step9：極限の評価（最重要）

上端 t→∞t \to \inftyt→∞

$$t e^{-\lambda t} \to 0,\quad e^{-\lambda t} \to 0$$te−λt→0,e−λt→0

👉 全体 → 0

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下端 t=0t = 0t=0

$$-0 \cdot 1 – \frac{1}{\lambda} \cdot 1 = -\frac{1}{\lambda}$$−0⋅1−λ1​⋅1=−λ1​

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Step10：差をとる

$$(上端) – (下端) = 0 – \left(-\frac{1}{\lambda}\right) = \frac{1}{\lambda}$$(上端)−(下端)=0−(−λ1​)=λ1​

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✔ 最終結果

$$\int_0^\infty t \lambda e^{-\lambda t} dt = \frac{1}{\lambda}$$∫0∞​tλe−λtdt=λ1​

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3. 応用：2回部分積分（分散計算）

問題

$$\int_0^\infty t^2 \lambda e^{-\lambda t} dt$$∫0∞​t2λe−λtdt

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Step1

$$= \lambda \int_0^\infty t^2 e^{-\lambda t} dt$$=λ∫0∞​t2e−λtdt

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Step2（1回目）

$$u = t^2,\quad dv = e^{-\lambda t} dt$$u=t2,dv=e−λtdt $$= -\frac{t^2}{\lambda} e^{-\lambda t} + \frac{2}{\lambda} \int t e^{-\lambda t} dt$$=−λt2​e−λt+λ2​∫te−λtdt

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Step3（2回目）

さっきの結果を使う：$$\int t e^{-\lambda t} dt = -\frac{t}{\lambda} e^{-\lambda t} – \frac{1}{\lambda^2} e^{-\lambda t}$$∫te−λtdt=−λt​e−λt−λ21​e−λt

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Step4：代入

$$= -\frac{t^2}{\lambda} e^{-\lambda t} + \frac{2}{\lambda} \left( -\frac{t}{\lambda} e^{-\lambda t} – \frac{1}{\lambda^2} e^{-\lambda t} \right)$$=−λt2​e−λt+λ2​(−λt​e−λt−λ21​e−λt)

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Step5：整理

$$= -\frac{t^2}{\lambda} e^{-\lambda t} – \frac{2t}{\lambda^2} e^{-\lambda t} – \frac{2}{\lambda^3} e^{-\lambda t}$$=−λt2​e−λt−λ22t​e−λt−λ32​e−λt

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Step6：定積分評価

境界項はすべて0になるので：$$= \frac{2}{\lambda^2}$$=λ22​

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4. 重要ポイントまとめ

✔ 技術面

• λは最初に外に出す
• 指数は積分すると形が保たれる
• 多項式は微分で消える

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✔ 極限処理

$$t^n e^{-\lambda t} \to 0$$tne−λt→0

👉 試験では「前提知識」

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✔ 思考の本質

「減らしたいもの（多項式）を u にする」

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まとめ

部分積分は：

• 手順は単純
• だが「途中式の精度」が合否を分ける

特に統計では：

期待値・分散の計算そのもの